估计量的相合性和无偏性

估计量

• 参数的点估计就是根据样本构造的一个统计量，把这个统计量称作总体总体参数的估计量

• 无偏性、渐进无偏性、有效性、相合性（一致性）都是对与样本统计量好坏的一种度量

无偏估计

• 定义：\(E(\hat{\theta})=\theta\)
• 解释：估计量的数学期望等于被估计参数的真实值
• 意义：在多次重复下（n不变），平均数接近所估计的参数真值

渐进无偏估计

• 定义：当\(N \rightarrow \infty\)时，\(E(\hat{\theta}) \rightarrow \theta\)，就称\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的渐进无偏估计

相合估计（一致性）

• 定义：如果\(\hat{\theta}_{N}\)依概率收敛到\(\theta\)，就称\(\hat{\theta}_{N}\)是\(\theta\)的相合估计

强相合估计

• 定义：如果\(\hat{\theta}_{N} a.s.\)收敛到\(\theta\)，就称\(\hat{\theta}_N\)是\(\theta\)的强相合估计

有效性

• 指估计量与总体参数的离散程度，如果两个估计量都是无偏的，那么离散程度较小的估计量相对来说是有效的，离散程度用方差来衡量

举例：二阶中心矩

总结

• 无偏性有期望这个条件，样本均值的期望等于或趋于总体均值
• 相合性没有期望这个条件，样本均值随着n增大会趋于总体均值
• 相合性与强相合估计的区别：后者条件加强了，前者依概率收敛，后者a.s.（全概率，即以概率1收敛）收敛。